【题目】设函数f(x)=ax2-a-lnx,其中a∈R.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)当时,恒成立,求a的取值范围.(其中,e=2.718…为自然对数的底数).
【答案】(I)在上单调递减,在上单调递增;(II).
【解析】
试题分析:(I)求出函数的导函数,分和两种情况,判断在上的符号变化情况,得到其单调性;(II)令,只需在上恒大于即可,又,故在处必大于等于.构造函数,由可得,对函数求导,判断其符号得其单调性,求出其值域,可得到函数单调性递增,所以.
试题解析:(I)由题意得:
当时,上单调递减.
当时,,当时,,
当时,故在上单调递减,在上单调递增.
(II)原不等式等价于在上恒成立,
一方面,令
只需在上恒大于0即可,
又,故在处必大于等于0.
令可得.
另一方面,当时,
又,,,故在时恒大于0,
当时,在单调递增.
故也在单调递增.
即在上恒大于0..
综上,.
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【题目】在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,右顶点为,直线过原点,且点在x轴的上方,直线与分别交直线:于点、.
(1)若点,求椭圆的方程及△ABC的面积;
(2)若为动点,设直线与的斜率分别为、.
①试问是否为定值?若为定值,请求出;否则,请说明理由;
②求△AEF的面积的最小值.
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【题目】刘老师是一位经验丰富的高三理科班班主任,经长期研究,他发现高中理科班的学生的数学成绩(总分150分)与理综成绩(物理、化学与生物的综合,总分300分)具有较强的线性相关性,以下是刘老师随机选取的八名学生在高考中的数学得分x与理综得分y(如下表):
学生编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
数学分数x | 52 | 64 | 87 | 96 | 105 | 123 | 132 | 141 |
理综分数y | 112 | 132 | 177 | 190 | 218 | 239 | 257 | 275 |
参考数据及公式: .
(1)求出y关于x的线性回归方程;
(2)若小汪高考数学110分,请你预测他理综得分约为多少分?(精确到整数位);
(3)小金同学的文科一般,语文与英语一起能稳定在215分左右.如果他的目标是在
高考总分冲击600分,请你帮他估算他的数学与理综大约分别至少需要拿到多少分?(精确到整数位).
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【题目】已知关于的一次函数.
(1)设集合和,分别从集合和中随机取一个数作为和,求函数是增函数的概率;
(2)实数满足条件,求函数的图象经过第一、二、三象限的概率.
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【题目】2017年天猫五一活动结束后,某地区研究人员为了研究该地区在五一活动中消费超过3000元的人群的年龄状况,随机在当地消费超过3000元的群众中抽取了500人作调查,所得概率分布直方图如图所示:记年龄在, , 对应的小矩形的面积分别是,且.
(1)以频率作为概率,若该地区五一消费超过3000元的有30000人,试估计该地区在五一活动中消费超过3000元且年龄在的人数;
(2)若按照分层抽样,从年龄在的人群中共抽取6人,再从这6人中随机抽取2人作深入调查,求至少有1人的年龄在内的概率.
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