Question

2．已知a＞0，函数f（x）=e^axsinx（x∈[0，+∞））．记x_n为f（x）的从小到大的第n（n∈N^*）个极值点，则数列{f（x_n）}是（　　）

• A． 等差数列，公差为e^ax
• B． 等差数列，公差为-e^ax
• C． 等比数列，公比为e^ax
• D． 等比数列，公比为-e^ax

Answer 1

分析 求出导数，运用两角和的正弦公式化简，求出导数为0的根，讨论根附近的导数的符号相反，即可得到极值点，求得极值，运用等比数列的定义即可得证；

解答 解：：f′（x）=e^ax（asinx+cosx）=$\sqrt{{a}^{2}+1}$•e^axsin（x+φ），
tanφ=$\frac{1}{a}$，0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
令f′（x）=0，由x≥0，x+φ=mπ，即x=mπ-φ，m∈N^*，
对k∈N，若（2k+1）π＜x+φ＜（2k+2）π，即（2k+1）π-φ＜x＜（2k+2）π-φ，
则f′（x）＜0，因此在（（m-1）π-φ，mπ-φ）和（mπ-φ，（m+1）π-φ）上f′（x）符号总相反．
于是当x=nπ-φ，n∈N^*，f（x）取得极值，所以x_n=nπ-φ，n∈N^*，
此时f（x_n）=e^{a（nπ-φ）}sin（nπ-φ）=（-1）ⁿ⁺¹e^{a（nπ-φ）}sinφ，
易知f（x_n）≠0，而$\frac{{f（x}_{n+1}）}{{f（x}_{n}）}$=$\frac{{（-1）}^{n+2}{e}^{a（（n+1）π-φ）}sinφ}{{（-1）}^{n+1}{e}^{a（nπ-φ）}sinφ}$=-e^aπ是常数，
故数列{f（x_n）}是首项为f（x₁）=e^a（π-φ）sinφ，公比为-e^aπ的等比数列；
故选：D．

点评 本题考查导数的运用：求极值和单调区间，主要考查三角函数的导数和求值，同时考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的证明，属于难题．