Question

2．已知数列{a_n}中，a₁=0，a_n+1=$\frac{{a}_{n}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}{a}_{n}+1}$（n∈N^*），则a₁+a₂+…+a₂₀₁₅=（　　）

• A． -$\sqrt{3}$
• B． 0
• C． $\sqrt{3}$
• D． 1008$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 通过计算出前几项，找出其周期，进而计算即得结论．

解答 解：∵a₁=0，a_n+1=$\frac{{a}_{n}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}{a}_{n}+1}$（n∈N^*），
∴a₂=$\frac{{a}_{1}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}{a}_{1}+1}$=$\frac{0-\sqrt{3}}{0+1}$=-$\sqrt{3}$，
a₃=$\frac{{a}_{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}{a}_{2}+2}$=$\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}×（-\sqrt{3}）+1}$=$\sqrt{3}$，
a₄=$\frac{{a}_{3}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}{a}_{3}+1}$=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}+1}$=0，
∴数列{a_n}是周期为3的周期数列，
且a₁+a₂+a₃=0-$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=0，
∵2015=671×3+2，
∴a₁+a₂+…a₂₀₁₅
=671×0+a₂₀₁₄+a₂₀₁₅
=0-$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$
=0，
故选：B．

点评 本题考查数列的简单性质，找出周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．