Question

(本题满分14分)在一个特定时段内，以点为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点正北55海里处有一个雷达观测站.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距海里的位置，经过40分钟又测得该船已行驶到点北偏东+(其中

sin=，)且与点相距海里的位置C.

（Ⅰ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；

（Ⅱ）该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域；若进入请求出经过警戒水域的时间，并说明理由.

南安一中2010-2011学年高一年（下）期末考试数学试卷

Answer 1

解：（I）如图，AB=40，AC=10，

由于,所以cos=             …………………………2分

由余弦定理得BC=       …………………………4分

所以船的行驶速度为（海里/小时）                …………………………6分

（II）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，

设点B、C的坐标分别是B（x₁，y₂）, C（x₁，y₂）,BC与x轴的交点为D.

由题设有，x₁=y₁= AB=40,          

x₂=ACcos,

y₂=ACsin

所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40. …………………………9分

又点E（0，-55）到直线l的距离d=

故该船会进入警戒水域.                                       …………………………12分

进入警戒水域所行驶的路程为海里            …………………………13分

小时，所以经过警戒水域的时间为小时.    …………………………14分

解法二:  如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.

在△ABC中，由余弦定理得，

==.    …………………8分

从而

在中，由正弦定理得，

AQ=……………………10分

由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.

过点E作EP BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.

在Rt中，

PE=QE·sin= ………12分

故该船会进入警戒水域.

进入警戒水域所行驶的路程为海里             …………………………13分

小时，所以经过警戒水域的时间为小时.      …………………………14分