Question

已知椭圆的短轴长为2

3

，焦点坐标分别是（-1，0）和（1，0）．
（1）求这个椭圆的标准方程；
（2）如果直线y=x+m与这个椭圆交于不同的两点A，B，求m的取值范围；
（3）若（2）中m=1，求该直线与此椭圆相交所得弦长|AB|的值．

Answer 1

分析：（1）先由题分析出椭圆的焦点在x轴上且2b=2

3

，c=1，求出a，b即可求椭圆的标准方程；
（2）联立直线方程与椭圆方程，整理为关于的一元二次方程；再结合直线y=x+m与这个椭圆交于不同的两点知道对应的方程有两个不等实根，判别式大于0即可求出m的取值范围；
（3）求出A，B的坐标，即可求得弦长|AB|．

解答：解：（1）由题得椭圆的焦点在x轴上且2b=2

3

，c=1
∴b=

3

，a²=b²+c²=4．
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）直线y=x+m代入椭圆方程，消去y整理得：7x²+8mx+4m²-12=0．
∵直线y=x+m与这个椭圆交于不同的两点
∴△=（8m）²-4×7×（4m²-12）＞0
∴m²＜7，∴-

7

＜m＜

7

；
（3）m=1时，7x²+8mx+4m²-12=0可化为7x²+8x-8=0
∴x=

-4±6 2

7

∴y=

3±6 2

7

∴|AB|=

( 12 2 7 )2+( 12 2 7 )2

=

24

7

点评：本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．