Question

19．设关于x的不等式x|x-a|-b＜0的解集为P，
（1）当a=2，b=3时，求集合P；
（2）若a=1，且P={x|x＜-1}，求实数b的值；
（3）设常数b∈[1，4），P?{x|-2≤x≤2}，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把a=2，b=3代入已知，然后化不等式为不等式组，解之可得；
（2）方法一：若a=1，且P={x|x＜-1}，则-1为方程x|x-1|-b=0的根，代入可得答案；
方法二：把a=1代入可得f（x）的解析式，作函数f（x）的图象，数形结合可得实数b的值；
（3）分类讨论，结合P?{x|-2≤x≤2}，可得$\frac{{a}^{2}}{4}＜$b，且4-2a＜b，解得实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=2，b=3时，不等式x|x-2|-3＜0，
当x≥2时，不等式可化为：x²-2x-3＜0，解得-1＜x＜3；
∴2≤x＜3，
当x＜2时，不等式可化为：-x²+2x-3＜0，此时不等式恒成立，
综上所述：P={x|x＜3}
（2）方法一：若a=1，不等式x|x-1|-b＜0，
∵P={x|x＜-1}，
∴当x=-1时，x|x-1|-b=0，
解得：b=-2；
方法二：当a=1时，不等式x|x-1|-b＜0
令f（x）=x|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-x}^{2}+x，x＜1\\{x}^{2}-x，x≥1\end{array}\right.$
作函数f（x）的图象（如图）．

∵当x＜-1，f（x）的值域为（-∞，-2），
∴当不等式的解集为P={x|x＜-1}时，b=-2．
（3）原不等式可化为：x|x-a|＜b，
∵b∈[1，4），
令f（x）=x|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{-x}^{2}+ax，x＜a\\{x}^{2}-ax，x≥a\end{array}\right.$
若a＜0则f（x）的图象如图所示：

若P?{x|-2≤x≤2}，
则4-2a＜b，
即a＞$2-\frac{b}{2}$，
同理：a=0时，也要满足a＞$2-\frac{b}{2}$，
当a＞0时，f（x）的图象如图所示：

 若P?{x|-2≤x≤2}，
$\frac{{a}^{2}}{4}＜$b，且4-2a＜b，
即$2-\frac{b}{2}$＜a＜2$\sqrt{b}$，
综上所述：a∈（$2-\frac{b}{2}$，2$\sqrt{b}$）

点评 本题考查绝对值不等式的解法，涉及一元二次不等式的解法，以及函数的图象和分类讨论的思想，属中档题．