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在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为
1
2
,右焦点为F,且椭圆E上的点到点F距离的最小值为2.
(1)求a,b的值;
(2)设椭圆E的左、右顶点分别为A,B,过点A的直线l与椭圆E及直线x=8分别相交于点M,N.
①当过A,F,N三点的圆半径最小时,求这个圆的方程;
②若cos∠AMB=-
65
65
,求△ABM的面积.
考点:直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质
专题:向量与圆锥曲线
分析:(1)由椭圆的离心率结合椭圆E上的点到点F距离的最小值为2列关于a,c的方程,求出a,c的值后结合隐含条件求得b的值;
(2)①设出N的坐标(8,t)及圆的一般式方程,把A,F,N的坐标代入圆的方程,求出半径,利用基本不等式求得半径的最小值及t的值,则圆的方程可求;
②联立直线和椭圆方程,求出M的坐标,由向量的夹角公式求出直线的斜率k,得到y的纵坐标为定值3,代入三角形的面积公式得答案.
解答: 解:(1)由已知,
c
a
=
1
2
,且a-c=2,
解得a=4,c=2,
∴b2=a2-c2=12,
∴a=4,b=2
3

(2)①由(1),A(-4,0),F(2,0),设N(8,t).
再设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A,F,N的坐标代入,得
16-4D+F=0
4+2D+F=0
64+t2+8D+Et+F=0
,解得
D=2
E=-t-
72
t
F=-8

∴圆的方程为x2+y2+2x-(t+
72
t
)y-8=0

(x+1)2+[y-
1
2
(t+
72
t
)]2=9+
1
4
(t+
72
t
)2

(t+
72
t
)2≥(2
72
)2
,当且仅当t+
72
t
=±12
2
时,圆的半径最小,
故所求圆的方程为x2+y2+2x±12
2
y-8=0

②由对称性不妨设直线l的方程为y=k(x+4)(k>0).
y=k(x+4)
x2
16
+
y2
12
=1
,得M(
12-16k2
3+4k2
24k
3+4k2
)

MA
=(
-24
3+4k2
-24k
3+4k2
)
MB
=(
32k2
3+4k2
-24k
3+4k2
)

∴cos∠AMB=
MA
MB
|
MA
|•|
MB
|
=
-8×24k
24
1+k2
(32k)2+242
=-
65
65

化简,得16k4-40k2-9=0,
解得k2=
1
4
,或k2=
9
4
,即k=
1
2
,或k=
3
2

此时总有yM=3.
∴△ABM的面积为
1
2
×8×3=12
点评:本题考查了椭圆与圆的方程的求法,考查了直线与圆锥曲线的关系,训练了平面向量在解析几何中的应用,考查了学生的计算能力,是压轴题.
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已知数列{an}满足:a1=1,an+1=
an
an+2
(n=1,2,3,…).
(Ⅰ)求a2,a3,a4的值,并猜an的表达式;
(Ⅱ)证明你的猜想.

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△ABC中,BC=2,A=45°,B为锐角,点O是△ABC外接圆的圆心,则
OA
BC
的取值范围是(  )
A、(-2,2
2
]
B、(-2
2
,2]
C、[-2
2
,2
2
]
D、(-2,2)

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设α,β是两个平面,α∩β=b,且直线a∥α,a∥β,那么请画图表示a与b的位置关系.并证明.

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已知sinα=
1
3
,则cos(π+2α)的值为(  )
A、
7
9
B、-
7
9
C、
2
9
D、-
2
3

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已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数u,v满足f(u+v)=f(u)+f(v),且f(uv)=uf(v)+vf(u).用含u、v、f(u)、f(v)的表达式来表示f(
u
v
)=
 

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化简下列各式:
(1)
a
1
2
-b
1
2
a
1
2
+b
1
2
+
a
1
2
+b
1
2
a
1
2
-b
1
2

(2)(a2-2+a-2)÷(a2-a-2).

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已知函数g(x)=b2lnx-bx-3(b∈R)的极值点为x=1,函数h(x)=ax2+bx+4b-1.
(Ⅰ)求函数g(x)的单调区间,并比较g(x)与g(1)的大小关系;
(Ⅱ)当a=
1
2
时,函数t(x)=ln(1+x2)-h(x)+x+4-k(k∈R),试判断函数t(x)的零点个数;
(Ⅲ)如果函数f(x),f1(x),f2(x)在公共定义域D上,满足f1(x)<f(x)<f2(x),那么就称f(x)为f1(x),f2(x)的“伴随函数”,已知函数f1(x)=(a-
1
2
)x2+2ax+(1-a2)lnx,f2(x)=
1
2
x2+2ax,若在区间(1,+∞)上,函数f(x)=g(x)+h(x)是f1(x),f2(x)的“伴随函数”,求a的取值范围.

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