Question

6．已知a∈R，若f（x）=（x+$\frac{a}{x}$-1）e^x在区间（1，3）上有极值点，则a的取值范围是（-∞，-$\frac{27}{4}$）．

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，从而求出满足条件的a范围即可．

解答 解：∵f（x）=（x+$\frac{a}{x}$-1）e^x，
∴f′（x）=（$\frac{{x}^{3}+ax-a}{{x}^{2}}$）e^x，
设h（x）=x³+ax-a，
∴h′（x）=3x²+a，
a≥0时，h′（x）＞0在（1，3）上恒成立，
即函数h（x）在（1，3）上为增函数，
∵h（1）=1＞0，函数f（x）在（1，3）无极值点，
a＜0时，h（x）=x³+a（x-1），
∵x∈（1，3），h′（x）=3x²+a，
令h′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{-\frac{a}{3}}$或x＜-$\sqrt{-\frac{a}{3}}$，
故h（x）在（0，$\sqrt{-\frac{a}{3}}$）递减，在（$\sqrt{-\frac{a}{3}}$，+∞）递增，
若$\sqrt{-\frac{a}{3}}$≥3，即a≤-27时，h（x）在（1，3）递减，h（1）＞0，
若$f（x）=（{x+\frac{a}{x}-1}）{e^x}$在区间（1，3）上有极值点，
只需h（3）=27+2a＜0，解得：a＜-$\frac{27}{2}$，符合题意；
若$\sqrt{-\frac{a}{3}}$≤1，即-3≤a＜0时，h（x）在（1，3）递增，不合题意；
若1＜$\sqrt{-\frac{a}{3}}$＜3即-27＜a＜-3时，
h（x）在（1，$\sqrt{-\frac{a}{3}}$）递减，在（$\sqrt{-\frac{a}{3}}$，3）递减，
h（x）_min=h（$\sqrt{-\frac{a}{3}}$）＜0，解得：a＜-$\frac{27}{4}$，
综上：a∈（-∞，-$\frac{27}{4}$），
故答案为：（-∞，-$\frac{27}{4}$）．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．