Question

（2012•盐城二模）设f（x）是定义在R上的可导函数，且满足f（x）+xf′（x）＞0．则不等式f(

x+1

)＞

x-1

f(

x2-1

)的解集为

{x|1≤x＜2}

．

Answer 1

分析：由题意可得 （ x•f（x））′＞0，故 函数y=x•f（x）在R上是增函数，不等式即

x+1

f(

x+1

)＞

x+1

x-1

f(

x2-1

)，故有

x+1

＞

x2-1

，由此求得解集．

解答：解：∵f（x）+xf′（x）＞0，
∴（ x•f（x））′＞0，故函数y=x•f（x）在R上是增函数．
∴

x+1

•f(

x+1

)＞

x+1

x-1

f(

x2-1

)=

x2-1

•f（

x2-1

），
∴

x+1

＞

x2-1

，即

x+1≥0 x≥1 ，或x≤-1 x+1＞x2-1

．
解得 1≤x＜2，
故答案为 {x|1≤x＜2}．

点评：本题以积的导数为载体，考查函数的单调性，关键是条件的等价转化，属于基础题．