Question

在△ABC中，已知向量

a

=（sinA，1），

b

=（cosA，

3

），且

a

∥

b

，其中A∈(0，

π

2

)．
（1）若sin（ω-A）=

3

5

，0＜ω＜

π

2

，求cosω的值；
（2）若BC=2

3

，AC+AB=4，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角形的面积公式

专题：计算题,三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由

a

∥

b

，得tanA=

3

3

，由sin（ω-A）=

3

5

，可得sinω=

6 5 +cosω

3

，由0＜ω＜

π

2

，得sinω的值，从而有

6 5 +cosω

3

=

1-cos2ω

，可解得cosω的值；
（2）由余弦定理可得AB•AC=

4

2+ 3

，即可求△ABC的面积．

解答： 解：（Ⅰ）由

a

∥

b

，得cosA-

3

sinA=0，化为tanA=

3

3

，
∵A∈(0，

π

2

)．
∴A=

π

6

∵sin（ω-A）=

3

5

，可得sinω=

6 5 +cosω

3

，
∵0＜ω＜

π

2

，∴sinω=

1-cos2ω

，
∴

6 5 +cosω

3

=

1-cos2ω

，整理可得100cos²ω+60cosω-39=0，解得cosω=

-3-4 3

10

（舍去）或

4 3 -3

10

；
（2）∵BC=2

3

，AC+AB=4，A=

π

6

∴由余弦定理可得：12=AB²+AC²-2•AB•AC•sinA=(AB+AC)2-(2+

3

)AB•AC=16-（2+

3

）AB•AC
∴可解得：AB•AC=

4

2+ 3

∴S_△ABC=

1

2

•AB•AC•sinA=

1

4

×

4

2+ 3

=2-

3

．

点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数，三角形的面积公式，本题计算量较大，要求解题时认真细心，属于基本知识的考查．