Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=2^-x．
（1）求出x∈R时，f（x）的解析式，并画出函数f（x）的图象（在如图的坐标系中）；
（2）写出f（x）的单调区间及值域（不要求写出过程）．

Answer 1

分析：（1）设x＜0，则-x＞0，代入已知解析式，利用偶函数的定义，即可求得x＜0的解析式，从而得到f（x）的解析式；
（2）对分段函数分段进行判断，即可得到函数的单调区间及值域．

解答：解：（1）设x＜0，则-x＞0，
∵当x≥0时，f（x）=2^-x，
∴f（-x）=2^x，
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（x）=f（-x），
∴当x＜0时，f（x）=f（-x）=2^x，
∴f(x)=

2-x，x≥0 2x，x＜0

（或f(x)=(

1

2

)|x|），
图象如右图所示．
（2）根据图象可得，增区间（-∞，0），减区间（0，+∞），（或增区间（-∞，0]，减区间[0，+∞）），值域为（0，1]．

点评：本题考查了函数的解析式，函数的奇偶性，函数的值域，函数的单调性以及函数的图象．对于分段函数，一般选用数形结合和分类讨论的数学思想方法进行处理．属于基础题．