Question

已知函数f(x)=x+

a

x

+b，其中a，b为实数．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若f（1）=4，且f（-1）=-2，求函数f（x）在（0，+∞）上的单调区间，并用定义加以证明；
（3）在（2）的条件下，求函数f（x）在[

1

2

，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用奇偶性的定义即可判断，注意考虑参数；
（2）由f（1）=4，且f（-1）=-2可求得a，b值，从而求得f（x），利用导数可求得其单调区间，然后用定义证明即可；
（3）由（2）可知f（x）在[

1

2

，3]上的单调性，据单调性即可求得其最值；

解答：解：（1）f（x）的定义域为{x|x≠0}．
f（-x）+f（x）=（-x-

a

x

+b）+（x+

a

x

+b）=2b，
只有当b=0时f（x）为奇函数；
（2）由f（1）=4，f（-1）=-2，可得

1+a+b=4 -1-a+b=-2

，解得a=2，b=1．
则f（x）=x+

2

x

+1，f′（x）=1-

2

x2

，令f′（x）＞0解得x＞

2

，令f′（x）＜0解得0＜x＜

2

，
所以f（x）的增区间是（

2

，+∞），减区间是（0，

2

）；
设

2

＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（x1+

2

x1

+1）-（x2+

2

x2

+1）=(x1-x2)

(x1x2-2)

x1x2

，
因为

2

＜x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂-2＞0，x₁x₂＞0，
故f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以f（x）是（

2

，+∞）上的增函数；
设0＜x₁＜x₂＜

2

，则f（x₁）-f（x₂）=（x1+

2

x1

+1）-（x2+

2

x2

+1）=(x1-x2)

(x1x2-2)

x1x2

，
因为0＜x₁＜x₂＜

2

，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂-20，
故f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以f（x）是（0，

2

）上的增函数．
（3）由（2）知：f（x）在[

1

2

，

2

]上递减，在[

2

，3]上递增，
所以f（x）的最小值为f（

2

）=2

2

+1，
又f（

1

2

）=

11

2

，f（3）=

14

3

，
所以f（x）的最大值为f（

1

2

）=

11

2

．

点评：本题考查函数奇偶性、单调性及其应用，考查函数在闭区间上的最值，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力．