Question

13．f（x）=$\frac{{2{{cos}^4}x-2{{cos}^2}x+\frac{1}{2}}}{{2tan（{\frac{π}{4}-x}）{{cos}^2}（{\frac{π}{4}-x}）}}$
（1）求$f（{\frac{π}{12}}）$；
（2）将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$得g（x）的图象，求g（x）的表达式，并问x为何值时g（x）最大．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数中的恒等变换应用化简可得f（x）=$\frac{1}{2}$cos2x，代入x=$\frac{π}{12}$即可得解．
（2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得解析式g（x）=$\frac{1}{2}$cos（2x-$\frac{π}{3}$），由余弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{{2{{cos}^4}x-2{{cos}^2}x+\frac{1}{2}}}{{2tan（{\frac{π}{4}-x}）{{cos}^2}（{\frac{π}{4}-x}）}}$=$\frac{（\sqrt{2}co{s}^{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}{2sin（\frac{π}{4}-x）cos（\frac{π}{4}-x）}$=$\frac{\frac{1}{2}co{s}^{2}2x}{cos2x}$=$\frac{1}{2}$cos2x，
∴$f（{\frac{π}{12}}）$=$\frac{1}{2}$cos（2×$\frac{π}{12}$）=$\frac{1}{2}$cos$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
（2）∵将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$得g（x）的图象，
∴g（x）=$\frac{1}{2}$cos2（x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$cos（2x-$\frac{π}{3}$），
∴当2x-$\frac{π}{3}$=2kπ，k∈Z，即x=k$π+\frac{π}{6}$，k∈Z时，g（x）最大，最大值为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，余弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．