Question

【题目】已知{an}为等比数列，a1=1，a4=27； Sn为等差数列{bn} 的前n 项和，b1=3，S5=35．
（1）求{an}和{bn} 的通项公式；
（2）设数列{cn} 满足cn=anbn（n∈N*），求数列{cn} 的前n 项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1=1，a4=27；∴1×q3=27，解得q=3．

∴ ．

设等差数列{bn} 的公差为d，∵b1=3，S5=35．∴5×3+ =35，解得d=2．

∴bn=3+2（n﹣1）=2n+1．

（2）解：cn=anbn=（2n+1）3n﹣1．

∴数列{cn} 的前n 项和Tn=3+5×3+7×32+…+（2n+1）3n﹣1．

3Tn=3×3+5×32+…+（2n﹣1）3n﹣1+（2n+1）3n．

∴﹣2Tn=3+2×（3+32+…+3n﹣1）﹣（2n+1）3n=3+ ﹣（2n+1）3n．

∴Tn=n3n．

【解析】（1）设等比数列{an}的公比为q，由a1=1，a4=27；可得1×q3=27，解得q．设等差数列{bn} 的公差为d，由b1=3，S5=35．可得5×3+ =35，解得d．（2）cn=anbn=（2n+1）3n﹣1 ． 利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．