Question

4．《九章九术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，若A₁A=AB=2，当阳马B-A₁ACC₁体积最大时，则堑堵ABC-A₁B₁C₁的体积为（　　）

• A． $\frac{8}{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设AC=x，BC=y，由阳马B-A₁ACC₁体积最大，得到AC=BC=$\sqrt{2}$，由此能求出堑堵ABC-A₁B₁C₁的体积．

解答 解：设AC=x，BC=y，由题意得x＞0，y＞0，x²+y²=4，
∵当阳马B-A₁ACC₁体积最大，
∴V=$\frac{1}{3}×$2x×y=$\frac{2}{3}xy$取最大值，
∵xy≤$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$=2，当且仅当x=y=$\sqrt{2}$时，取等号，
∴当阳马B-A₁ACC₁体积最大时，AC=BC=$\sqrt{2}$，
此时堑堵ABC-A₁B₁C₁的体积V=S_ABC•AA₁=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×2$=2．
故选：C．

点评 本题考查堑堵ABC-A₁B₁C₁的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．