Question

1．已知△ABC中，∠B=2∠A，a：b=5：8．
（1）求cosA；
（2）求cosC．

Answer 1

分析 （1）直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出cosA的值；
（2）由题意可得A，B为锐角，由倍角公式，同角三角函数关系式可求sinB，cosB，然后利用两角和与差的余弦函数公式求出cosC的值即可．

解答 解：（1）∵在△ABC中，∠B=2∠A，a：b=5：8．
∴由正弦定理得：8sinA=5sinB=5sin2A=10sinAcosA，
∴cosA=$\frac{4}{5}$，
（2）∵A为三角形内角，
∴A∈（0，$\frac{π}{4}$），B＜$\frac{π}{2}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{3}{5}$，
∴sinB=sin2A=2×$\frac{3}{5}×\frac{4}{5}$=$\frac{24}{25}$，cosB=1-2sin²A=$\frac{7}{25}$，
则cosC=cos[π-（A+B）]=sinAsinB-cosAcosB=$\frac{3}{5}×\frac{24}{25}-\frac{4}{5}×\frac{7}{25}$=$\frac{44}{125}$．

点评 此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基本知识的考查．