Question

设奇函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，且f（2）=0，则不等式

f(-x)-f(x)

2x

≤0的解集为

（-∞，-2]∪[2，+∞）

．

Answer 1

分析：首先根据f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，且f（2）=0，得到当0＜x＜2时，f（x）＜0；当x≥2时，f（x）≥0．再结合函数为奇函数证出：当x≤-2时，f（x）≤0且-2＜x＜0时，f（x）＞0，最后利用这个结论，将原不等式变形，讨论可得所求解集．

解答：解：∵f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，且f（2）=0，
∴当0＜x＜2时，f（x）＜0；当x≥2时，f（x）≥0
又∵f（x）是奇函数
∴当x≤-2时，-x≥2，可得f（-x）≥0，从而f（x）=-f（-x）＜0．即x≤-2时f（x）≤0；
同理，可得当-2＜x＜0时，f（x）＞0．
不等式

f(-x)-f(x)

2x

≤0可化为：

-2f(x)

2x

≤0，即

f(x)

x

≥0
∴

f(x)≥0 x＞0

或

f(x)≤0 x＜0

，解之可得x≥2或x≤-2
所以不等式

f(-x)-f(x)

2x

≤0的解集为（-∞，-2]∪[2，+∞）

点评：本题以抽象函数为例，在已知f（x）的单调性和奇偶性的基础之上求解关于x的不等式，着重考查了函数的单调性与奇偶性的知识点，属于基础题．