Question

15．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）它的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，一个焦点是（-1，0），过直线x=3上一点M引椭圆E的两条切线，切点分别是A和B．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若在椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的点（x₀，y₀）处的切线方程是$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{b}^{2}}$=1．求证：直线AB恒过定点，并求出定点的坐标；
（Ⅲ）记点C为（Ⅱ）中直线AB恒过的定点，问是否存在实数λ，使得$|{\overrightarrow{AC}}|+|{\overrightarrow{BC}}|=λ|{\overrightarrow{AC}}|•|{\overrightarrow{BC}}|$成立，若成立求出λ的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点是（-1，0），故c=1，再由离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求出a和b的值，从而求得椭圆E的方程；
（Ⅱ）设切点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l上一点M的坐标（3，t），求出切线方程，再把点M代入切线方程，说明点A，B的坐标都适合方$x+\frac{t}{2}y=1$，而两点之间确定唯一的一条直线，从而求出定点；
（Ⅲ）将直线AB的方程$x+\frac{t}{2}y=1$，代入椭圆方程，求出两根的积和两根的和，求出$\overrightarrow{|AC|}$，$\overrightarrow{|BC|}$的长，求出λ的值看在不在，再进行判断．

解答 （Ⅰ）解：设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点是（-1，0），故c=1，
又$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，∴$a=\sqrt{3}，b=\sqrt{2}$，
∴所求的椭圆E的方程为$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$；
（Ⅱ）证明：设切点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l上一点M的坐标（3，t），
则切线方程分别为$\frac{{{x_1}x}}{3}+\frac{{{y_1}y}}{2}=1$，$\frac{{{x_2}x}}{3}+\frac{{{y_2}y}}{2}=1$，
又两切线均过点M，即${x_1}+\frac{t}{2}{y_1}=1$，${x_2}+\frac{t}{2}{y_2}=1$，即点A，B的坐标都适合方程$x+\frac{t}{2}y=1$，
故直线AB的方程是$x+\frac{t}{2}y=1$，显然直线$x+\frac{t}{2}y=1$恒过点（1，0），故直线AB恒过定点（1，0）；
（Ⅲ）解：将直线AB的方程$x+\frac{t}{2}y=1$，代入椭圆方程，
得$（\frac{t^2}{2}+3）{y^2}-2ty-4=0$，
∴${y_1}+{y_2}=\frac{4t}{{{t^2}+6}}，{y_1}{y_2}=\frac{-8}{{{t^2}+6}}$，不妨设y₁＞0，y₂＜0，
则$|{\overrightarrow{AC}}|=\frac{{\sqrt{{t^2}+4}}}{2}{y_1}$，同理$|{\overrightarrow{BC}}|=-\frac{{\sqrt{{t^2}+4}}}{2}{y_2}$，
∴$\frac{1}{{|{\overrightarrow{AC}}|}}+\frac{1}{{|{\overrightarrow{BC}}|}}=\frac{2}{{\sqrt{{t^2}+4}}}（\frac{1}{y_1}-\frac{1}{y_2}）=\frac{2}{{\sqrt{{t^2}+4}}}•\frac{{\sqrt{48（{t^2}+4）}}}{8}=\sqrt{3}$．
即$|{\overrightarrow{AC}}|+|{\overrightarrow{BC}}|=\sqrt{3}|{\overrightarrow{AC}}|•|{\overrightarrow{BC}}|$，
故存在实数λ=$\sqrt{3}$，使得$|{\overrightarrow{AC}}|+|{\overrightarrow{BC}}|=λ|{\overrightarrow{AC}}|•|{\overrightarrow{BC}}|$成立．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．