Question

已知函数f(x)=loga(-x2+ax+3)（a＞0，且a≠1）．
（Ⅰ）当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在[1，2]上的最大值是2？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f(x)=loga(-x2+ax+3)（a＞0，且a≠1），当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，知g（x）=-x²+ax+3在[0，2]上恒大于零，由此能求出实数a的取值范围．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a＞

1

2

，且a≠1．分别由

1

2

＜a＜1，1＜a≤2，2＜a≤4，a＞4四种情况进行讨论，能够推导出存在这样的实数a，使得函数f（x）在[1，2]上的最大值是2，并能求出a的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=loga(-x2+ax+3)（a＞0，且a≠1），当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，
∴g（x）=-x²+ax+3在[0，2]上恒大于零，
∵a＞0，∴g（x）的对称轴x=

a

2

＞0，
①当0＜

a

2

≤1时，g（x）在[0，2]上的最小值为g（2）=2a-1＞0，
∴

1

2

＜a≤2，且a≠1；
②当

a

2

＞1时，g（x）在[0，2]上的最小值为g（0）=3＞0，成立．
综上所述，实数a的取值范围是{a|a＞

1

2

，且a≠1}．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a＞

1

2

，且a≠1．
①当

1

2

＜a＜1时，f（x）在[1，2]上是增函数，
f（x）_max=f（2）=log_a（-4+2a+3）=2，解得a=1，不成立；
②当1＜a≤2时，f（x）在[1，2]上是减函数，
f（x）_max=f（1）=log_a（-1+a+3）=2，解得a=-1不成立，或a=2，成立；
③当2＜a≤4时，f（x）在[1，2]上f（x）_max=f（a）=log_a（-a²+a²+3）=2，解得a=

3

，成立；
④当a＞4时，f（x）在[1，2]上是增函数，
f（x）_max=f（2）=log_a（-4+2a+3）=2，解得a=1，不成立．
综上，a=

3

，或a=2．

点评：本题考查复合函数中参数的取值范围的求法，探索是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在[1，2]上的最大值是2．综合性强，难度大，对数学思维的要求较高．解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．