Question

10件产品中有3件次品，连续抽3次，每次抽1件．求
（1）不放回抽取时，抽到的次品数X的期望；
（2）有放回抽取时，抽到的次品数Y的期望与方差．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：随机变量X可以取0，1，2，3，Y也可以取0，1，2，3，放回抽样和不放回抽样对随机变量的取值和相应的概率都产生了变化，要具体问题具体分析．放回抽样时，抽到的次品数为独立重复试验事件．求离散型随机变量分布列要注意两个问题：一是求出随机变量所有可能的值；二是求出取每一个值时的概率．

解答： 解：（1）不放回抽取时，抽到的次品数X可以取0，1，2，3，
P（X=0）=

C 3 7

C 3 10

=

35

120

=

7

24

，
P（X=1）=

C 1 3 C 2 7

C 3 10

=

63

120

=

21

40

，
P（X=2）=

C 2 3 C 1 7

C 3 10

=

21

120

=

7

40

，
P（X=3）=

C 3 3

C 3 10

=

1

120

，
所以X的分布列为

X	0	1	2	3
P	7 24	21 40	7 40	1 120

EX=0×

7

24

+1×

21

40

+2×

7

40

+3×

1

120

=

9

10

．
（2）有放回抽取时，抽到的次品数Y的可能取值为0，1，2，3，且Y～B（3，0.3），
∴EY=3×0.3=0.9，
DY=3×0.3×（1-0.3）=0.63．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．