Question

【题目】(2015·江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆(a>b>0)的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）过F的直线与椭圆交于A ， B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于 点P ， C ， 若PC=2AB ， 求直线AB的方程.

Answer 1

【答案】
（1）

（2）

y=x-1或y=-x+1.

【解析】（1）由题意，得且c+=3, 解得a=,c=1，则b=1，所以椭圆的标准方程为
(2)当AB⊥x轴时，AB=，又CP=3，不合题意.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k(x-1), A(x1, y1),B(x2, y2), 将AB的方程代入椭圆方程，得（1+2k2)x2-4k2x+1(k2-1)=0, 将x1,2=, C的坐标为（， )， 且AB===. 若 k=0, 则直线AB 的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意。 从而k≠0，
故直线PC的方程为y+=-(x-),则 P点的坐标为（-2，), 从而PC=. 因为PC=2AB，所以=， 解得k=±1. 此时AB方程为y=x-1或y=-x+1.
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：
才能正确解答此题．