Question

（2006•浦东新区一模）已知函数f(x)=x+log3

x+2

a-x

为奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）函数g（x）的图象由函数f（x）的图象先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到，写出g（x）的对称中心坐标，若g（b）=1，求g（4-b）的值；
（3）若（2）中g（x）的图象与直线x=1，x=3及x轴所围成的封闭图形的面积为S，求S的值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）为奇函数可得f（-x）=-f（x）对定义域内一切x均成立且函数的定义域关于原点对称．
方法一：利用奇函数的定义域关于原点对称可求a
方法二：一般式方法，-x+log3

-x+2

a+x

=-x-log3

x+2

a-x

x²-a²=x²-4可求a
（2）由（1）可知，函数f（x）关于原点（0，0）对称 函数g（x）的对称中心为P（2，2），利用对称可求 g（x）+g（4-x），利用该性质可得当g（b）=1时，g（4-b）=4-g（b）
（3）由对称性可知，函数y=g（x）的图象与直线x=1，x=3及x轴所围成封闭图形的面积S，由
f(1)=1+log3

1

3

=0，f（3）=3+log₃3=4，从而可求S

解答：解：（1）因为f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x）对定义域内一切x均成立且函数的定义域关于原点对称．
方法一：由题意可得，

x+2

a-x

＞0，结合奇函数的定义域关于原点对称性可得a=2（4分）
方法二：一般式方法，-x+log3

-x+2

a+x

=-x-log3

x+2

a-x

x²-a²=x²-4，得到a=2（4分）
（2）由（1）可知，函数f（x）关于原点（0，0）对称 （5分）
则函数g（x）的对称中心为P（2，2）（7分）
所以 g（x）+g（4-x）=4（9分）
当g（b）=1时，g（4-b）=4-g（b）=3（11分）
（3）f(1)=1+log3

1

3

=0，f（3）=3+log₃3=4（14分）
由对称性可知，函数y=g（x）的图象与直线x=1，x=3及x轴所围成封闭图形的面积S
S=

1

2

×(3-1)×4=4（16分）

点评：本题主要考查了奇函数的定义及性质的应用，函数的对称性的应用，函数的图象的平移等性质 的综合应用，解题的关键是灵活利用函数的性质．