Question

如图，在三棱锥S-ABC，平面EFGHBC，CA，AS，SB交与点E，F，G，H，且SA⊥平面EFGH，SA⊥AB，EF⊥FG．
（1）AB∥平面EFGH；
（2）GH∥EF；
（3）GH⊥平面SAC．

Answer 1

解：（1）∵SA⊥平面EFGH，GH⊆平面EFGH，∴SA⊥GH
又∵在平面SAB内，SA⊥AB，∴AB∥GH
∵AB?平面EFGH，GH⊆平面EFGH，∴AB∥平面EFGH；…（6分）
（2）∵AB∥平面EFGH，AB⊆平面ABC，平面ABC∩平面EFGH=EF
∴AB∥EF
又∵AB∥GH，∴EF∥GH…（10分）
（3）∵SA⊥平面EFGH，SA⊆平面SAC
∴平面SAC⊥平面EFGH，交线为FG
∵EF∥GH，EF⊥FG，∴GH⊥FG
∵GH⊆平面EFGH，
∴GH⊥平面SAC．…（140分）
分析：（1）根据线面垂直的性质，得SA⊥GH，结合在同一个平面SAB内SA⊥AB，得AB∥GH，结合线面平行判定定理，得AB∥平面EFGH；
（2）由线面平行的性质，得AB∥EF，结合AB∥GH，得EF∥GH；
（3）由面面垂直的判定定理，得平面SAC⊥平面EFGH，而直线GH在平面EFGH内与交线FG垂直，根据面面垂直的性质定理，得GH⊥平面SAC．
点评：本题在四面体中证明空间的平行与垂直，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和线面平行的判定等知识，属于中档题．