Question

【题目】如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为a，M是BC的中点，侧面B1C1CB⊥底面ABC，且AC1⊥BC．
（Ⅰ）求证：BC⊥C1M；
（Ⅱ）求二面角A1﹣AB﹣C的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：连接AM，∵△ABC是正三角形，∴AM⊥BC，又AC1⊥BC，且AC1∩AM=A，
∴BC⊥平面AC1M，
∴BC⊥C1M．
（Ⅱ）解：以MB，MA，MC1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则 ，
∴ ．
设平面A1AB的法向量为 ，
则 ，
∴ ．
又平面ABC的法向量是 ，
∴
∴二面角A1﹣AB﹣C的平面角的余弦值为： ．

【解析】（Ⅰ）连接AM，由△ABC是正三角形，得AM⊥BC，又AC1⊥BC，可得BC⊥平面AC1M，由此能证明BC⊥C1M．（Ⅱ）以MB，MA，MC1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出A，B，A1点的坐标，则 ， 可求，设平面A1AB的法向量为 ，
从而列出方程组，求解可得 ，由此能求出二面角A1﹣AB﹣C的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识点，需要掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点才能正确解答此题．