如图.对每个正整数n.An(xn.yn)是抛物线x2＝4y上的点.过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点Bn(Sn.tn)．Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点． (1)求证∠AnCnBn＝90o, (2)求证点Cn的纵坐标是一个定值.并求这个定值, (3)若|FC1|.|FC2|.|FC3|.-.|FCn|构成首项为3.公比为2的等比数列.求|A1B 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，对每个正整数n，A_n(x_n，y_n)是抛物线x²＝4y上的点，过焦点F的直线FA_n交抛物线于另一点B_n(S_n，t_n)．C_n为抛物线上分别以A_n与B_n为切点的两条切线的交点．

(1)求证∠A_nC_nB_n＝90o；

(2)求证点C_n的纵坐标是一个定值，并求这个定值；

(3)若|FC₁|、|FC₂|、|FC₃|、…、|FC_n|构成首项为3，公比为2的等比数列，求|A₁B₁|＋|A₂B₂|＋|A₃B₃|＋…＋|A_nB_n|．

答案：
解析：

　　证明：(1)对任意固定的因为焦点F(0，1)，所以可设直线的方程为

　　将它与抛物线方程联立得，

　　由一元二次方程根与系数的关系得……★

　　对任意固定的利用导数知识易得抛物线在处的切线的斜率

　　故在处的切线的方程为：　，……①

　　类似地，可求得在处的切线的方程为：，……②

　　又故∠A_nC_nB_n＝90o

　　(2)又由②－①得：，

　　……③

　　将③代入①并注意得交点的纵坐标为－1．

　　(3)由抛物线定义知，，，又

　　故

　　而由两点间的距离公式得：

　　故

　　所以，

　　＝

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科目：高中数学 来源： 题型：

如图，对每个正整数n，A_n（x_n，y_n）是抛物线x²=4y上的点，过焦点F的直线FA_n交抛物线于另一点B_n（s_n，t_n）．
（Ⅰ）试证：x_ns_n=-4（n≥1）；
（Ⅱ）取x_n=2ⁿ，并记C_n为抛物线上分别以A_n与B_n为切点的两条切线的交点．试证：|FC₁|+|FC₂|+…+|FC_n|=2ⁿ-2^-n+1+1．

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科目：高中数学 来源：重庆市高考真题 题型：证明题

如图，对每个正整数n，A_n(x_n，y_n)是抛物线x²=4y上的点，过焦点F的直线FA_n交抛物线于另一点B_n（s_n，t_n），
（Ⅰ）试证：x_ns_n=-4（n≥1）；
（Ⅱ）取x_n=2ⁿ，并记C_n为抛物线上分别以A_n与B_n为切点的两条切线的交点．试证：|FC₁|+|FC₂|+…+|FC_n|=2ⁿ-2^-n+1+1（n≥1）。