Question

【题目】如图，已知长方形ABCD中，AB=2 ，AD= ，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM （Ⅰ）求证：AD⊥BM
（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为 ．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵长方形ABCD中，AB=2 ，AD= ，M为DC的中点， ∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM平面ABCM
∴BM⊥平面ADM
∵AD平面ADM∴AD⊥BM；
（Ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，设 ，
则平面AMD的一个法向量 =（0，1，0）， = + =（1﹣λ，2λ，1﹣λ）， =（﹣2，0，0），
设平面AME的一个法向量为 =（x，y，z），则 ，
取y=1，得x=0，z= ，
则 =（0，1， ），
∵cos＜ ， ＞= = ，∴求得 ，
故E为BD的中点．

【解析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质证明BM⊥平面ADM即可证明AD⊥BM（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立二面角的夹角关系，解方程即可．