Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，已知“葫芦”曲线C由圆弧C₁与圆弧C₂相接而成，两相接点M，N均在直线y=-上．圆弧C₁所在圆的圆心是坐标原点O，半径为r₁=2；圆弧C₂过点A（0，-6）．
（Ⅰ）求圆弧C₂的方程；
（Ⅱ）已知直线l：mx-y-3=0与“葫芦”曲线C交于E，F两点．当|EF|=4+4时，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据条件确定圆弧C₂对应的圆心和半径即可．（Ⅱ）
解答：解：（Ⅰ）因为圆弧C₁所在圆的圆心是坐标原点O，半径为r₁=2，所以BM=．
所以M（-），N（），
设圆弧C₂的圆心为（0，b），b＜0，半径为r．
则圆的标准方程为x²+（y-b）²=r²，
则因为圆弧C₂过点N（）和A（0，-6），
所以，解得b=，r=3，
所以圆弧C₂的方程为．
（Ⅱ）直线mx-y-3=0过圆弧C₂的圆心，因为圆弧C₂的直径为6≤4+4，所以直线与两个圆分别相交．

设圆弧C₂的圆心为D，设F（x，y），则DE=3，所以DF=EF-DE=4+4-3=4+．
则，
即，
因为x²+y²=4，所以，即6，
解得y=，代入x²+y²=4，解得x=，
即F（）或（-），
所以代入直线mx-y-3=0，解得m=2或-2．
所以直线方程为：2x-或2x+．
点评：本题主要考查圆的标准方程的求法以及直线与圆的位置关系的应用，综合性较强，运算量较大，考查学生的运算能力．