Question

要使函数y=1+2^x+4^xa在x∈（-∞，1]上y＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：由题设条件知1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立，再由-

1+2x

4x

=-（

1

2

）^2x-（

1

2

）^x=-[（

1

2

）^x+

1

2

]²+

1

4

，知当x∈（-∞，1]时值域为（-∞，-

3

4

]，分析可得答案．

解答：解：由题意，得1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立，
即a＞-

1+2x

4x

在x∈（-∞，1]上恒成立．
又∵-

1+2x

4x

=-（

1

2

）^2x-（

1

2

）^x=-[（

1

2

）^x+

1

2

]²+

1

4

，
当x∈（-∞，1]时值域为（-∞，-

3

4

]，
∴a＞-

3

4

．

点评：本题考查函数的性质和应用，将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题是解决这类问题常用的方法．