Question

已知函数f（x）=x²+2x-2-a，（x≥1）其中a为实数．
（1）当a=1时，求f（x）的反函数f^-1（x）及其定义域；
（2）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）欲f（x）的反函数，根据反函数的定义知，只须由方程y=f（x）反解出x后互换x，y即得．
（2）由函数f（x）的单调性知：欲使f（x）≥0，只须f（x）_min=f（1）=1-a≥0即可，从而求出a的取值范围．

解答：解：（1）当a=1时，g（x）=x²+2x-3（x≥1）（1分）
∵f（x）对称轴为x=-1
∴f（x）在[1，+∞）上递增
得g（x）的值域为[0，+∞）（3分）
由y=x²+2x-3，得（x+1）²=y+4
∵x+1＞0∴x+1=

y+4

∴x=

y+4

-1（6分）
∴f-1(x)=

x+4

-1（x≥0）（8分）
（2）∵f（x）对称轴为x=-1
∴f（x）在[-2，-1]上递减，在（-1，1]上递增
∴f（x）_min=f（1）=1-a（10分）
∴1-a≥0（11分）
得a≤1（12分）

点评：本题主要考查了反函数，以及函数恒成立问题，解决时，首先要解决的问题是明白求反函数的步骤．