Question

设M点是圆C：x²+（y-4）²=4上的动点，过点M作圆O：x²+y²=1的两条切线，切点分别为A，B，切线MA，MB分别交x轴于D，E两点．是否存在点M，使得线段DE被圆C在点M处的切线平分？若存在，求出点M的纵坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：设存在点M（x₀，y₀）满足条件
设过点M且与圆O相切的直线方程为：y-y₀=k（x-x₀）
则由题意得，，化简得：
设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，则
圆C在点M处的切线方程为
令y=0，得切线与x轴的交点坐标为
又得D，E的坐标分别为
由题意知，
用韦达定理代入可得，，与联立，
得
分析：设存在点M（x₀，y₀）满足条件，设过点M且与圆O相切的直线方程为：y-y₀=k（x-x₀）通过点到直线的距离公式，求出直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂的关系，通过圆C在点M处的切线方程，求出切线与x轴的交点坐标，D，E的坐标，然后利用斜率关系式求出点M的纵坐标．
点评：本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，圆的切线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力．