Question

若点O和点F分别为椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则

OP

•

FP

的最大值为（　　）

• A、2
• B、3
• C、6
• D、8

Answer 1

分析：先求出左焦点坐标F，设P（x₀，y₀），根据P（x₀，y₀）在椭圆上可得到x₀、y₀的关系式，表示出向量

FP

、

OP

，根据数量积的运算将x₀、y₀的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．

解答：解：由题意，F（-1，0），设点P（x₀，y₀），则有

x02

4

+

y02

3

=1，解得y02=3(1-

x02

4

)，
因为

FP

=(x0+1，y0)，

OP

=(x0，y0)，
所以

OP

•

FP

=x0(x0+1)+y02=

OP

•

FP

=x0(x0+1)+3(1-

x02

4

)=

x02

4

+x0+3，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x₀=-2，
因为-2≤x₀≤2，所以当x₀=2时，

OP

•

FP

取得最大值

22

4

+2+3=6，
故选C．

点评：本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力．