Question

1．如图，设G为△ABC的重心，过G的直线l分别交AB，AC于P，Q，若$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AQ}$=n$\overrightarrow{AC}$，令$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$
（1）试用$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$表示$\overrightarrow{AG}$；     
（2）求证：$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=3．

Answer 1

分析 （1）连接AG并延长交BC于点D，则D为BC的中点，则由三角形的重心的性质可得AG=$\frac{2}{3}$AD，$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$ 化简可得解雇．
（2）根据$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AG}$+$\overrightarrow{GP}$，可得（1-x）$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AG}$-x•$\overrightarrow{AQ}$．化简可得（m-mx-$\frac{1}{3}$）$\overrightarrow{a}$+（nx-$\frac{1}{3}$）$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$，可得m-mx-$\frac{1}{3}$=0，且 nx-$\frac{1}{3}$=0，由此证得$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=3．

解答 解：（1）连接AG并延长交BC于点D，则D为BC的中点，则由三角形的重心的性质可得AG=$\frac{2}{3}$AD，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$•$\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）．
（2）∵$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AG}$+$\overrightarrow{GP}$=$\overrightarrow{AG}$+x$\overrightarrow{QP}$=$\overrightarrow{AG}$+x（$\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AQ}$）；
∴（1-x）$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AG}$-x•$\overrightarrow{AQ}$．
又$\overrightarrow{AG}$=$\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{3}$，$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AQ}$=n$\overrightarrow{AC}$，∴（1-x）$\overrightarrow{a}$=$\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{3}$-nx•$\overrightarrow{b}$，
即 （m-mx-$\frac{1}{3}$）$\overrightarrow{a}$+（nx-$\frac{1}{3}$）$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$，∴m-mx-$\frac{1}{3}$=0，且 nx-$\frac{1}{3}$=0．
求得m-$\frac{m}{3n}$=$\frac{1}{3}$，∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=3．

点评 本题主要考查向量加法、减法的几何意义，共线向量基本定理，重心的性质：重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍，以及向量加法的平行四边形法则，向量的加法、减法运算，平面向量基本定理，属于中档题．