Question

已知a＞0，设命题p：函数y=a^x在R上单调递减，q：设函数y=

2x-2a x≥2a 2a x＜2a

对任意的x，恒有y＞1．若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．

Answer 1

分析：若命题p：“函数y=a^x在R上单调递减”为真命题，根据指数函数的单调性与底数的关系，易确定满足条件的a的取值范围，若命题q：“设函数y=

2x-2a x≥2a 2a x＜2a

对任意的x，恒有y＞1”，易求了满足条件的a的取值范围，又由p∧q为假，p∨q为真，可以判断出命题p与命题q中一个为真一个为假，分类讨论求出对应的a的取值范围，综合讨论结果，即可得到a的取值范围．

解答：解：若p是真命题，则0＜a＜1…（2分）
若q是真命题，则函数y＞1恒成立，即函数y的最小值大于1，而函数y的最小值为2a，
只需2a＞1∴a＞

1

2

∴q为真命题时，a＞

1

2

…（6分）
又∵p∧q为假，p∨q为真∴p与q一真一假       …（8分）
若p真q假，则0＜a≤

1

2

；若p假q真，则a≥1…（10分）
故a的取值范围为0＜a≤

1

2

或a≥1…（12分）

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中求出命题p与命题q为真或假时，a的取值范围是解答本题的关键．