【题目】已知在四棱锥中,底面是边长为的正方形,是正三角形,,分别是的中点。
(1)求证:;
(2)求平面与平面所成锐二面角的大小;
(3)线段上是否存在一个动点,使得直线与平面所成角为,若存在,求线段的长度,若不存在,说明理由.
【答案】(I)见解析,(Ⅱ),(Ⅲ)不存在
【解析】
(I)先根据面面垂直得线面垂直,再根据平行转化得结果,(Ⅱ)先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,列方程组解得各面法向量,根据向量数量积得法向量夹角,最后根据二面角与法向量夹角关系得结果,(Ⅲ)先假设存在,根据(Ⅱ)可得平面法向量,再根据向量数量积得直线方向向量与法向量夹角,结合条件得方程,根据方程解的情况作判断.
(I)证明:∵,,
∴,
又∵,∴,
(Ⅱ)取中点,连接
∵, ,∴,
如图以点为原点分别以所在直线为轴轴轴建立空间直角坐标系,∴, ,, ,
设平面的法向量为,,
取∴
又平面的法向量为,
设平面与平面所成锐角二面角为
∴,
∴平面与平面所成锐角二面角为.
(Ⅲ)设,
,
∴,
∴,
即,无解,∴不存在这样的.
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【题目】某中学根据学生的兴趣爱好,分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团,据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2015年某新生入学,假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、,己知三个社团他都能进入的概率为,至少进入一个社团的概率为,且.
(1)求与的值;
(2)该校根据三个社团活动安排情况,对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分,对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分,对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,圆C:x2+y2+4x-2y+m=0与直线相切.
(1)求圆C的方程;
(2)若圆C上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且,求直线MN的方程.
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【题目】某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品A、B,要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排,通过调查,有关数据如表:
产品A(件) | 产品B(件) | ||
研制成本与塔载 | 20 | 30 | 计划最大资 |
产品重量(千克/件) | 10 | 5 | 最大搭载 |
预计收益(万元/件) | 80 | 60 |
试问:如何安排这两种产品的件数进行搭载,才能使总预计收益达到最大,最大收益是多少?
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【题目】赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的),类比“赵爽弦图”,可类似地构造如图所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形,设,则( )
A. B.
C. D.
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【题目】已知直线为参数),以坐标原点为极点,轴为极轴建立极坐标系,曲线.
(1)求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(2)求与直线平行,且被曲线截得的弦长为的直线的方程.
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