Question

【题目】已知函数f（x）=|2x+ |+a|x﹣ |．
（Ⅰ）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤3x；
（Ⅱ）当a=2时，若关于x的不等式2f（x）+1＜|1﹣b|的解集为空集，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，不等式f（x）=|2x+ |﹣|x﹣ |≤3x，

等价于 ①；或 ②；或 ．

解①求得﹣ ≤x＜﹣ ，解②求得﹣ ≤x＜ ，解③求得x≥ ，

故原不等式的解集为{x|x≥﹣ }．

（Ⅱ）当a=2时，若关于x的不等式2f（x）+1＜|1﹣b|，即 2（|2x+ |+2|x﹣ |）+1＜|1﹣b|，

即|4x+1|+|4x﹣6|+1＜|1﹣b|．

由于|4x+1|+|4x﹣6|≥|（4x+1）﹣（4x﹣6）|=7，∴|1﹣b|＞7+1的解集为，即|1﹣b|≤8恒成立，

∴﹣8≤b﹣1≤8，即﹣7≤b≤9，即要求的实数b的取值范围为[﹣7，9]

【解析】（Ⅰ）当a=﹣1时，不等式f（x）=|2x+ |﹣|x﹣ |≤3x，再等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）当a=2时，由题意可得，|1﹣b|＞7+1的解集为，即|1﹣b|≤8恒成立，即﹣8≤b﹣1≤8，由此求得实数b的取值范围．
【考点精析】掌握绝对值不等式的解法是解答本题的根本，需要知道含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．