Question

给定实数a（a≠0），f：R→R对任意实数x均满足f（f（x））=xf（x）+a，则f（x）的零点的个数（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,选作题,函数的性质及应用

分析：假设函数有零点，通过反复利用公式f（f（x））=xf（x）+a，最终可得a=0，与题意相矛盾，从而说明没有零点．

解答： 解：若f（x）有零点b，
则f（b）=0，
则f（f（b））=f（0）=b•f（b）+a=a，
即f（0）=a，
则f（f（0））=f（a）=0•f（0）+a=a，
则f（a）=a，
则f（f（a））=f（a）=a•f（a）+a=a²+a=a，
则a²=0，解得，a=0，与题意相矛盾，
故f（x）没有零点．
故选A．

点评：本题考查了函数的零点的定义及对于新知识的接受能力，属于难题．