Question

已知函数f（x）（x∈R）满足：对于任意实数x，y，都有恒成立，且当x＞0时，恒成立；
（1）求f（0）的值，并例举满足题设条件的一个特殊的具体函数；
（2）判定函数f（x）在R上的单调性，并加以证明；
（3）若函数F（x）=f（max{-x，2x-x²}）+f（-k）+1（其中）有三个零点x₁，x₂，x₃，求u=（x₁+x₂+x₃）+x₁•x₂•x₃的取值范围．

Answer 1

解：（1）令x=y=0得：f（0+0）=f（0）+f（0）+?f（0）=-；
例：f（x）=x-，验证：f（x+y）=x+y+=（x-）+（x-）+=f（x）+f（y）+．
（2）判定f（x）在R上单调递增．
证明：任取x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）+=f（x₂-x₁）+，
∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＞-，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，f（x₂）＞f（x₁），函数是增函数．
（3）由F（x）=0?f（max{-x，2x-x²}）+f（-k）+=-．
∴f（max{-x，2x-x²}+（-k））=f（0），
又由（2）知f（x）是R上的增函数
∴max{-x，2x-x²}+（-k）=0?k=max{-x，2x-x²}，
设g（x）=max{-x，2x-x²}，
则g（x）=
F（x）有三个零点?k=max{-x，2x-x²}有三个解．如图，

当0＜K＜1时y=k与y=max{-x，2x-x²}的图象有三个不同的交点，横坐标依是x₁，x₂，x₃．
则x₁=-k，x₂，x₃ 是方程2x-x²=k的两根，则x₂+x₃=2，x₂•x₃=k．
∴u=2-k-k²，（0＜k＜1），
u=-+，在（0，1）上单调递减，
∴u∈（0，2）
故u的取值范围是（0，2）
分析：（1）代入x=y=0，可求；
（2）根据函数的单调性的定义证明即可；
（3）根据抽象函数的性质，将函数有三个零点的条件转化为方程的根的判定，结合最值函数的图象，利用韦达定理根与系数的关系构造函数求解．
点评：本题考查函数的单调性、函数的最值、方程的根的存在性及根与系数的关系．