Question

8．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₄、S₂、S₃成等差数列，且a₂+a₃+a₄=-18，若S_n≥2016，则n的取值范围为大于等于11的奇数．

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}的公比为q≠1，由S₄、S₂、S₃成等差数列，可得2S₂=S₄+S₃，化为2a₃+a₄=0，又a₂+a₃+a₄=-18，联立解得$\left\{\begin{array}{l}{q=-2}\\{{a}_{1}=3}\end{array}\right.$，由于S_n≥2016，化为-（-2）ⁿ≥2015，对n分类讨论即可得出．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q≠1，∵S₄、S₂、S₃成等差数列，∴2S₂=S₄+S₃，∴2a₃+a₄=0，又a₂+a₃+a₄=-18，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（2{q}^{2}+{q}^{3}）=0}\\{{a}_{1}q（1+q+{q}^{2}）=-18}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{q=-2}\\{{a}_{1}=3}\end{array}\right.$，
∵S_n≥2016，∴$\frac{3[1-（-2）^{n}]}{1-（-2）}$≥2016，化为-（-2）ⁿ≥2015，
当n为偶数时，不成立，舍去．
当n为奇数时，化为2ⁿ≥2015，解得：n≥11．
∴n的取值范围为大于等于11的奇数．
故答案为：大于等于11的奇数．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．