Question

已知离心率为

1

2

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1过（1，

3

2

）
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在实数m，使得在此椭圆C上存在不同两点关于直线y=4x+m对称，若存在请求出m，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由离心率为

1

2

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1过（1，

3

2

），知

c a = 1 2 1 a2 + 9 4 b2 =1 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）假设存在实数m，使得在此椭圆C上存在不同两点关于直线y=4x+m对称．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x₀，y₀），因为在此椭圆C上存在不同两点关于直线y=4x+m对称，所以kAB=

y2-y1

x2-x1

=-

1

4

，再用点差法进行求解．

解答：解：（1）∵离心率为

1

2

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1过（1，

3

2

），
∴

c a = 1 2 1 a2 + 9 4 b2 =1 a2=b2+c2

，解得a²=4，b²=3，c²=1，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（2）假设存在实数m，使得在此椭圆C上存在不同两点关于直线y=4x+m对称．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x₀，y₀），
∵在此椭圆C上存在不同两点关于直线y=4x+m对称，
∴kAB=

y2-y1

x2-x1

=-

1

4

，
∵3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，
相减得3(x22-x12)+4(y22-y12)=0，即y₁+y₂=3（x₁+x₂），
∴y₀=3x₀，3x₀=4x₀+m，x₀=-m，y₀=-3m
而M（x₀，y₀）在椭圆内部，则

m2

4

+

9m2

3

＜1，即-

2 3

13

＜m＜

2 3

13

．
故存在实数m∈（-

2 3

13

，

2 3

13

），使得在此椭圆C上存在不同两点关于直线y=4x+m对称．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，综合性强，难度大，具有一定的探索性，对数学思维的要求较高．解题时要注意等价转化思想的合理运用．