【题目】如图,四棱锥中,平面平面,底面为梯形,,,.且与均为正三角形,为的中点,为重心.
(1)求证:平面;
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)方法一:连接并延长与交于,连接,推导出,从而,由为重心,得,进而,由此能证明平面.
方法二:过作交于,过作交于,连接,易知,又为的重心, 根据比例关系可得 ,
又为梯形, ,由比例关系可得,又, 得, 为平行四边形,可得,根据线面平行判定定理即可证明结果;
方法三:过作交于,连接,由为正三角形,为的中点,且, 为的重心,
又由梯形,可得,可证 ,可得平面平面
根据面面平行的性质即可证明结果.
(2)方法一:由平面平面,与均为正三角形,为的中点,可得平面,且,由(1)知平面,可得 ,再根据题意解出,即可求出结果.
方法二:三棱锥的体积 .由此能求出结果.
(1)方法一:连交于,连接.
由梯形, 且,知
又为的中点,且,为的重心,∴
在中,,故.
又平面,平面,∴平面
方法二:过作交于,过作交于,连接,
为的中点,且,
为的重心, , ,
又为梯形, ,,
, ,
又由所作, 得, 为平行四边形.
,面,面,面
方法三:过作交于,连接,
由为正三角形,为的中点,且, 为的重心,
得,
又由梯形,,且,
知,即
∴在中, ,所以平面平面
又平面,∴面
(2)方法一:由平面平面,与均为正三角形,为的中点
∴,,得平面,且
由(1)知平面,∴
又由梯形, ,且,知
又为正三角形,得,
∴
得
∴三棱锥的体积为.
方法二:由平面平面,与均为正三角形,为的中点
∴,,得平面,且
由,∴
而又为正三角形,得,得.
∴,∴三棱锥的体积为.
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【题目】袋子中有四张卡片,分别写有“瓷、都、文、明”四个字,有放回地从中任取一张卡片,将三次抽取后“瓷”“都”两个字都取到记为事件,用随机模拟的方法估计事件发生的概率.利用电脑随机产生整数0,1,2,3四个随机数,分别代表“瓷、都、文、明”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取卡片三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:
232 | 321 | 230 | 023 | 123 | 021 | 132 | 220 | 001 |
231 | 130 | 133 | 231 | 031 | 320 | 122 | 103 | 233 |
由此可以估计事件发生的概率为( )
A. B. C. D.
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【题目】已知函数
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直,求函数的极值;
(2)设函数.当=时,若区间[1,e]上存在x0,使得,求实数的取值范围.(为自然对数底数)
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【题目】如图,在正三棱柱中,,,由顶点沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线与棱的交点记为,求:
(1)三棱柱的侧面展开科的对角线长;
(2)该最短路线的长及的值;
(3)平面与平面所成二面角(锐角)的大小.
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【题目】如图,有一张半径为1米的圆形铁皮,工人师傅需要剪一块顶角为锐角的等腰三角形,不妨设 , 边上的高为 ,圆心为 ,为了使三角形的面积最大,我们设计了两种方案.
(1)方案1:设 为 ,用表示 的面积 ; 方案2:设的高为,用表示 的面积;
(2)请从(1)中的两种方案中选择一种,求出面积的最大值
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【题目】某海轮以每小时30海里的速度航行,在点测得海面上油井在南偏东,海轮向北航行40分钟后到达点,测得油井在南偏东,海轮改为北偏东的航向再行驶80分钟到达点,则两点的距离为(单位:海里)
A. B. C. D.
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