一条曲线是用以下方法画成：△ABC是边长为1的正三角形，曲线CA₁、A₁A₂、A₂A₃分别以A、B、C为圆心，AC、BA₁、CA₂为半径画的弧，CA₁A₂A₃为曲线的第1圈，然后又以A为圆心，AA₃为半径画弧，这样画到第n圈，则所得曲线CA₁A₂A₃…A_3n-2A_3n-1A_3n的总长度S_n为

A.
$数学公式$
B.
2π（3n-1）
C.
n（n+1）π
D.
n（3n+1）π

D
分析：由题知如果这样画到第n圈得到n条螺旋线，是由3n条弧长构成，这些弧长的圆心角都为 $\text{[math]}$ ，根据弧长公式得到这些弧长是 $\text{[math]}$ 为首项， $\text{[math]}$ 为公差，项数为3n的等差数列，所以这些螺旋线的总长度即为等差数列的前3n的和，求出即可．
解答：根据弧长公式知CA₁，A₁A₂，A₂A₃…A_3n-2A_3n-1，A_3n-1A_3n的长度分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$
化简得： $\text{[math]}$ ，2× $\text{[math]}$ ，…，3n× $\text{[math]}$ ，此数列是 $\text{[math]}$ 为首项， $\text{[math]}$ 为公差，项数为3n的等差数列，
则根据等差数列的求和公式得S_n=3n× $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =n（3n+1）π．
故选D．
点评：本题主要考查了等差数列的性质和数列的求和，解题的关键是归纳总结得到各弧长成等差数列，属于中档题．

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科目：高中数学 来源： 题型：

一条曲线是用以下方法画成：△ABC是边长为1的正三角形，曲线CA₁、A₁A₂、A₂A₃分别以A、B、C为圆心，AC、BA₁、CA₂为半径画的弧，CA₁A₂A₃为曲线的第1圈，然后又以A为圆心，AA₃为半径画弧，这样画到第n圈，则所得曲线CA₁A₂A₃…A_3n-2A_3n-1A_3n的总长度S_n为（　　）

A．

n(n+1)π

B．2π（3n-1）

C．n（n+1）π

D．n（3n+1）π

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科目：高中数学 来源：2013届浙江省高二下学期第一次质检理科数学试卷（解析版） 题型：选择题

一条曲线是用以下方法画成：是边长为1的正三角形，曲线分别以为圆心，为半径画的弧，为曲线的第1圈，然后又以为圆心，为半径画弧，这样画到第圈，则所得曲线的总长度为（）