【题目】已知在直角坐标系xOy中,曲线C1: (θ为参数),在以平面直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同单位长度的极坐标系中,曲线C2:ρsin( )=1.
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;
(2)曲线C1上恰好存在三个不同的点到曲线C2的距离相等,分别求这三个点的极坐标.
【答案】
(1)解:曲线C1: (θ为参数),两式平方相加可得:x2+y2=4,
曲线C2:ρsin( )=1,展开可得: + =1,化为直角坐标方程: =0
(2)解:原点O到直线C2: =0的距离d= =1= r,
直线 y+x=0与圆的两个交点A,B满足条件.
联立 ,解得 或 ,
利用 ,分别化为极坐标A ,B .
设与直线: =0平行且与圆相切的直线方程为: y+x+m=0,(m<0).
联立 ,化为:4y2+2 my+m2﹣4=0,
令△=12m2﹣16(m2﹣4)=0,解得m=﹣4.
∴ =0,
解得y= ,x=1.
∴切点C ,化为极坐标C .
∴满足条件的这三个点的极坐标分别为:极坐标A ,B ,C .
【解析】(1)曲线C1: (θ为参数),两式平方相加可得直角坐标方程;曲线C2:ρsin( )=1,展开可得: + =1,把 代入即可化为直角坐标方程.(2)原点O到直线C2: =0的距离d=1= r,直线 y+x=0与圆的两个交点A,B满足条件.联立 ,解出利用 ,分别化为极坐标A,B.
设与直线: =0平行且与圆相切的直线方程为: y+x+m=0,(m<0).与圆的方程联立化为:4y2+2 my+m2﹣4=0,令△=0,解得m,即可得出.
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【题目】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤ ),x=﹣ 为f(x)的零点,x= 为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在( , )上单调,则ω的最大值为( )
A.11
B.9
C.7
D.5
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【题目】已知椭圆E: + =1(a>b>0)过点 ,且离心率e为 .
(1)求椭圆E的方程;
(2)设直线x=my﹣1(m∈R)交椭圆E于A,B两点,判断点G 与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.
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【题目】下列命题中正确命题的个数是( ) ①对于命题p:x∈R,使得x2+x+1<0,则¬p:x∈R,均有x2+x+1>0;
②命题“已知x,y∈R,若x+y≠3,则x≠2或y≠1”是真命题;
③回归直线的斜率的估计值为1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为 =1.23x+0.08;
④m=3是直线(m+3)x+my﹣2=0与直线mx﹣6y+5=0互相垂直的充要条件.
A.1
B.3
C.2
D.4
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【题目】在某次试验中,有两个试验数据,统计的结果如下面的表格1.
(1)在给出的坐标系中画出的散点图; 并判断正负相关;
(2)填写表格2,然后根据表格2的内容和公式求出对的回归直线方程,并估计当为10时的值是多少?(公式:,)
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
2 | 3 | 4 | 4 | 5 |
表1
表格2
序号 |
|
|
|
|
1 | 1 | 2 | ||
2 | 2 | 3 | ||
3 | 3 | 4 | ||
4 | 4 | 4 | ||
5 | 5 | 5 | ||
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【题目】在极坐标系中,曲线C:ρ=2acosθ(a>0),l:ρcos(θ﹣ )= ,C与l有且仅有一个公共点.
(Ⅰ)求a;
(Ⅱ)O为极点,A,B为C上的两点,且∠AOB= ,求|OA|+|OB|的最大值.
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【题目】如图,四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,BC⊥CD,平面SCD⊥平面ABCD,SC=SD=CD=AD=2AB,M,N分别为SA,SB的中点,E为CD中点,过M,N作平面MNPQ分别与BC,AD交于点P,Q,若 =t .
(1)当t= 时,求证:平面SAE⊥平面MNPQ;
(2)是否存在实数t,使得二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值为 ?若存在,求出实数t的值;若不存在,说明理由.
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【题目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=BC=CA=2,AA1=4,D为A1B1的中点,E为棱BB1上的点,AB1⊥平面C1DE,且B1,C1,D,E四点在同一球面上,则该球的表面积为( )
A. 9π B. 11π C. 12π D. 14π
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