Question

13．已知函数f（x）=mx²-（m²+1）x+m（m∈R）．
（Ⅰ）当m=2时，解关于x的不等式f（x）≤0；
（Ⅱ）当m＞0时，解关于x的不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把m=-2代入已知不等式，通过解一元二次不等式2x²-5x+2≤0可以得到f（x）≤0的解集；
（Ⅱ）需要分类讨论：由题意得到不等式mx²-（m²+1）x+m＞0的解集，对该不等式整理得到：（x-m）（x-$\frac{1}{m}$）＞0，分m＞0，0＜m＜1，m＞1三种情况来解答．

解答 解：（Ⅰ）当m=2时，不等式f（x）≤0可化为2x²-5x+2≤0，
即（2x-1）（x-2）≤0，解得$\frac{1}{2}$≤x≤2，
所以不等式f（x）≤0的解集为{x|$\frac{1}{2}$≤x≤2}．
（Ⅱ）当m＞0时，不等式可化为mx²-（m²+1）x+m＞0，即x²-（m+$\frac{1}{m}$）x+1＞0，
则（x-m）（x-$\frac{1}{m}$）＞0，
当0＜m＜1时，$\frac{1}{m}$＞1，则不等式的解集为{x|x＜m，或x＞$\frac{1}{m}$}；
当m=1时，不等式化为（x-1）⑦＞0，此时不等式解集为{x|x≠1}；
当m＞1时，0＜$\frac{1}{m}$＜1，则不等式的解集为{x|x＜$\frac{1}{m}$或x＞m}．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法． 一元二次不等式解法与求一元二次方程的根相似，大体上有十字相乘法，配方法，万能公式法．本题采用了十字相乘法．