Question

如图，菱形ABCD的边长为1，有∠D=120°，点E、F分别是AD、DC的中点，BE、BF分别与AC交于点M、N．
（1）求AC的值．
（2）求MN的值．

Answer 1

分析：（1）利用菱形的对角线垂直及对角线平分顶角，再解直角三角形求出边AC
（2）利用三点共线则向量共线，据向量共线的充要条件设出

AM

，

AC

共线的条件及

EM

，

EB

共线的条件，
两等式联立求出点M所在的位置，同理得到点N的位置，求出|MN|的长．

解答：解：（1）连接BD交AC于点O，由∠ADC=120°，得∠ADO=60°，
而∠AOD=90°，AD=1，得OD=

1

2

，OA=

3

2

，∴AC=

3

；
（2）设

AB

=a，

AD

=b，则

AM

=λ

AC

=λ(a+b)，而B、M、E三点共线，
∴

EM

=u

MB

，即

AM

-

AE

=u(

AB

-

AM

)，∴(1+u)

AM

=u

AB

+

AE

，
即(1+u)λ(a+b)=ua+

1

2

b，有

(1+u)λ=u (1+u)λ= 1 2

，解得u=

1

2

，λ=

1

3

，
∴

AM

=

1

3

AC

，即|

AM

|=

1

3

|

AC

|，同理|

CN

|=

1

3

|

AC

|，得|

MN

|=

1

3

|

AC

|
由（1）得|

AC

|=

3

，∴|

MN

|=

1

3

|

AC

|=

3

3

．
即MN=

3

3

．

点评：本题考查菱形的对角线的性质、向量共线的充要条件、向量的运算律及运算法则．