Question

在平面直角坐标系中，设点P（X，Y）定义[OP]=|x|+|y|，其中O为坐标原点，对于以下结论：①符合[OP]=1的点P的轨迹围成的图形的面积为2；
②设P为直线

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x+2y-2=0上任意一点，则[OP]的最小值为1；
③设P为直线y=kx+b（k，b∈R）上的任意一点，则“使[OP]最小的点P有无数个”的必要不充分条件是“k=±1”；其中正确的结论有

 

（填上你认为正确的所有结论的序号）

Answer 1

分析：①根据新定义由[OP]=|x|+|y|=1，讨论x的取值，得到y与x的分段函数关系式，画出分段函数的图象，由图象可知点P的轨迹围成的图形为边长是

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的正方形，求出正方形的面积即可；
②举一个反例，令y=0，求出相应的x，根据新定义求出[OP]=|x|+|y|，即可得到[OP]的最小值为1是假命题；
③根据|x|+|y|大于等于|x+y|或|x-y|，把y=kx+b代入即可得到，当[OP]最小的点P有无数个时，k等于1或-1；而k等于1或-1推出[OP]最小的点P有无数个，所以得到k=±1是“使[OP]最小的点P有无数个”的充要条件，本选项错误．

解答：解：①由[OP]=1，根据新定义得：|x|+|y|=1，
可化为：

y=-x+1(1≥x≥0) y=-x-1(-1≤x≤0) y=x+1(-1≤x≤0) y=x-1(1≥x≥0)

，
画出图象如图所示：

根据图形得到：四边形ABCD为边长是

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的正方形，所以面积等于2，本选项正确；
②当P（

2 5

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，0）时，[OP]=|x|+|y|=

2 5

5

＜1，所以[OP]的最小值不为1，本选项错误；
③因为|x|+|y|≥|x+y|=|（k+1）x+b|，当k=-1时，|x|+|y|≥|b|，满足题意；
而|x|+|y|≥|x-y|=|（k-1）x-b|，当k=1时，|x|+|y|≥|b|，满足题意，
所以“使[OP]最小的点P有无数个”的充要条件是“k=±1”，本选项错误．
则正确的结论有：①．
故答案为：①

点评：此题考查学生理解及运用新定义的能力，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．