Question

如图，已知四棱锥P--ABC的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e为PC的中点，F为AD的中点．
（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）证明EF⊥平面PBC；
（III）点M是四边形ABCD内的一动点，PM与平面ABCD所成的角始终为45°，求动直线PM所形成的曲面与平面ABCD、平面PAB、平面PAD所围成几何体的体积．

Answer 1

分析：（I）线段PB的中点为G，连接EG，AG，由三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，我们易得到EF∥AG，结合线面平行的判定定理，我们易得到EF∥平面PAB；
（II）根据已知中PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，及PA=PB，G为AB的中点，结合线面垂直的性质及等腰三角形三线合一，我们易证明AG⊥平面PBC，结合（I）中结论EF∥AG，即可得到结论；
（III）根据点M是四边形ABCD内的一动点，PM与平面ABCD所成的角始终为45°，我们根据旋转体的定义判断出动直线PM所形成的曲面与平面ABCD、平面PAB、平面PAD所围成几何体的形状及底面半径、高等几何量，代入圆锥体积公式，即可得到答案．

解答：证明：（I）设线段PB的中点为G，连接EG，AG，
∵E为PC的中点，
∴EG∥BC且EG=

1

2

BC
又∵F为AD的中点，四边形ABCD为正方形
∴AF∥BC且AF=

1

2

BC
∴EG∥AF且EG=AF
∴四边形EGAF为平行四边形
∴EF∥AG
又∵EF?平面PAB，AG?平面PAB
∴EF∥平面PAB；
（II）∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥PA，
又∵BC⊥AB，AB?平面PAB，AP?平面PAB，AP∩AB=A
∴BC⊥平面PAB
又∵AG?平面PAB
∴AG⊥BC
又∵PA=PB，G为AB的中点
∴AG⊥PB
又∵PB?平面PBC，BC?平面PBC，PB∩BC=B
∴AG⊥平面PBC，
由（I）知EF∥AG
∴EF⊥平面PBC；
解：（III）∵PM与平面ABCD所成的角始终为45°，PA⊥平面ABCD，
∴AM=PA=2，
又∵∠BAD=90°
∴点M的是以A为圆心，2为半径的四分之一圆，
∴动直线PM所形成的曲面与平面ABCD、平面PAD围志的几何是底面半径为2，高为2的四分之一圆锥
∴V=

1

4

×(

1

3

×π×22)×2=

2π

3

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，圆锥的体积及直线与平面平行的判定，其中熟练掌握空间中线与面垂直及平行的判定和性质，建立良好的空间能力是解答此类问题的关键．