Question

已知函数f(x)=

mx

x2+n

(m，n∈R)在x=1处取得极值2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（t，2t+1）上是单调函数，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）设函数g（x）=x²-2ax+a，若对于任意的x₁∈R，总存在x₂∈[-1，1]，使得g（x₂）≤f（x₁），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先由已知函数求其导数，再根据函数f（x）在x=1处取得极值2，列出关于a，b的方程即可求得函数f（x）的解析式；
（II）求f′（x），令f′（x）＞0，令f′（x）＜0，求出函数的单调区间，再由函数f（x）在区间（t，2t+1）上是单调函数，能够求出实数t的取值范围．
（Ⅲ）求得函数f（x）的极小值，且当x＞1时，f（x）＞0恒成立，得函数f（x）的最小值，利用二次函数的图象，对a进行分类讨论，得出g（x）在[-1，1]上的最大值，由g（x）在[-1，1]上的最大值小于等于-2得a的范围，结合分类时a的范围得a的取值范围．

解答：解：（I）f′（x）=

m(x2+n)-mx•2x

(x2+n)2

=

-m(x2-n)

(x2+n)2

，
由题意得

f′(1)= -m(1-n) (1+n)2 =0 f(1)= m 1+n =2

，解得

m=4 n=1

，
∴f（x）=

4x

x2+1

．
（II）f′（x）=

-4(x2-1)

(x2+1)2

，令f'（x）=0，得x=-1或x=1
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

∴f（x）的减区是（-∞，-1），（1，+∞）；增区间是（-1，1）．
∵函数f（x）在区间（t，2t+1）上是单调函数，
∴

t＜-1 2t+1≤-1 t＜2t+1

，或-1≤t＜2t+1≤1，或

t≥1 2t+1＞1 t＜2t+1

，
解得-1＜t≤0或t＞1．
故实数t的取值范围是（-1，0]∪（1，+∞）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知f（x）在x=-1处取得极小值f（-1）=-2，
在x=1处取得极大值f（1）=2
又∵x＞0时，f（x）＞0，
∴f（x）的最小值为-2，（10分）
∵对于任意的x₁∈R，总存在x₂∈[-1，1]，使得g（x₂）≤f（x₁）
∴当x∈[-1，1]时，g（x）最小值不大于-2，
又g（x）=x²-2ax+a=（x-a）²+a-a²
当a≤-1时，g（x）的最小值为g（-1）=1+3a，
由1+3a≤-2，得a≤-1，（11分）
当a≥1时，g（x）最小值为g（1）=1-a，由1-a≤-2，得a≥3
当-1＜a＜1时，g（x）的最小值为g（a）=a-a²
由a-a²≤-2，得a≤-1或a≥2，又-1＜a＜1，
所以此时a不存在．（12分）
综上，a的取值范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）．（13分）．

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．