Question

已知平面上两定点C（-1，0），D（1，0）和一定直线l：x=-4，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且．
（1）问点P在什么曲线上，并求出曲线的轨迹方程M；
（2）又已知点A为抛物线y²=2px（p＞0）上一点，直线DA与曲线M的交点B不在y轴的右侧，且点B不在x轴上，并满足的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由．得．法一：转化为到定点的距离和到定直线的距离问题即椭圆定义，就可求出点P所在曲线以及曲线的轨迹方程M；
法二：直接设出点P的坐标，代入整理即可求出点P所在曲线以及曲线的轨迹方程M；
（2）先把点B的坐标设出来，利用=2求出点A的坐标，再利用点A为抛物线y²=2px（p＞0）上一点，求出p和点B的坐标之间的关系，最后利用点B所在位置的限制求出p的最小值即可．
解答：解：（1）由．得||．
法一：动点P到定点C（-1，0）的距离与到定直线l：x=-4的距离之比为常数，
所以点P在椭圆上．
由，c=1．
所以所求的椭圆方程为=1．
法二：设P（x，y）代入||．得点P的轨迹方程为=1．
（2）椭圆的右焦点为D（1，0），点B在椭圆=1（-2＜x≤0）上，设B（x，y），其中-2＜x≤0
由，知．
由点A在抛物线y²=2px上，得．
又，∴．
令t=x+2，则0＜t≤2，
即8p==-t+4，∵0＜t≤2∴当t=2时p最小
∴p==0为椭圆与y轴的交点．
故p的最小值为
点评：本题综合考查了椭圆的定义，直线与抛物线的位置关系以及向量共线问题．是一道综合性很强的好题．