Question

【题目】如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．

（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：以{ }为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，

则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），

A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），

∴ ， =（1，﹣1，﹣4），

∴cos＜ ＞= = = ，

∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为

（2）解： 是平面ABA1的一个法向量，

设平面ADC1的法向量为 ，

∵ ，

∴ ，取z=1，得y=﹣2，x=2，

∴平面ADC1的法向量为 ，

设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，

∴cosθ=|cos＜ ＞|=| |= ，

∴sinθ= = ．

∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为 ．

【解析】（1）以{ }为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．