Question

3．在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB⊥平面ABCD所成的角为60°．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值；
（3）求二面角C-PB-D的正切值．

Answer 1

分析 （1）由PO⊥平面ABCD，得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∠PBO=60°．由此我们可以计算出PO即棱锥的高，及底面菱形的面积，代入即可得到棱锥的体积．
（2）取AB的中点F，连接EF、DF．由E是PB的中点，得EF∥PA，则∠FED是异面直线DE与PA所成角（或它的补角），然后解三角形FED求出夹角．
（3）作AM⊥PB，垂足为M，连接CM，则CM⊥PB，∠AMC为二面角C-PB-D的平面角，利用余弦定理可得结论．

解答 解：（1）在四棱锥P-ABCD中，由PO⊥平面ABCD，得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∠PBO=60°．
在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1，由PO⊥BO，
于是，PO=BOtan60°=$\sqrt{3}$，而底面菱形的面积为2$\sqrt{3}$．
∴四棱锥P-ABCD的体积V=$\frac{1}{3}$×2$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=2．
（2）取AB的中点F，连接EF、DF．
由E是PB的中点，得EF∥PA，
∴∠FED是异面直线DE与PA所成角（或它的补角），
在Rt△AOB中AO=ABcos30°=$\sqrt{3}$=OP，
于是，在等腰Rt△POA中，PA=$\sqrt{6}$，则EF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
在正△ABD和正△PBD中，DE=DF=$\sqrt{3}$，
cos∠FED=$\frac{\frac{1}{2}EF}{DE}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$
∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
（3）作AM⊥PB，垂足为M，连接CM，则CM⊥PB，∴∠AMC为二面角C-PB-D的平面角．

△PAB中，PA=$\sqrt{6}$，PB=2，AB=2，∴由等面积可得$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{4-\frac{6}{4}}$=$\frac{1}{2}×2×AM$，
∴AM=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∴cos∠AMC=$\frac{\frac{15}{4}+\frac{15}{4}-12}{2×\frac{\sqrt{15}}{2}×\frac{\sqrt{15}}{2}}$=-$\frac{3}{5}$
∴二面角C-PB-D的正切值为-$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查四棱锥P-ABCD的体积，异面直线DE与PA所成角的余弦值，二面角C-PB-D的正切值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．